自由とは何か？ 多項式からランダム行列へ

はじめに

自由とは何でしょうか？数学の世界では、自由という語は実に多様な場面に登場します。自由モノイド、自由加群、自由群――大学初年次で学ぶ内容から高度な研究分野に至るまで、その活躍の場は広がっています。これらを統一的に捉える枠組みとして、「忘却関手の左随伴」という圏論的視点が知られていますが、本稿ではその定番の切り口を離れ（注）、より特別な旅路を用意しました。その旅のガイドは、「代入操作」です。

（注） 本質が普遍性にある以上、実際に離れることはできないのですが、代入という操作的な観点とある程度知られた基底をベースにして、離れたように見せかけることにします。

まず、誰にとっても身近な存在である多項式を出発点とし、抽象性の階段を上りながら、やがて未解決問題という頂上を目指します。そして、そこからランダム行列という手ざわりのある対象へと下りてくる――そんなルートを辿りつつ、道中で出会うさまざまな自由の具体例や、数学外の隣接分野との関わりを紹介していきます。 読者が数学専攻であろうとなかろうと、この旅を通じて、自由という概念の意外な身近さと奥深い魅力を体験していただけるはずです（たぶん、きっと！）。

（注：執筆中につき、latexのままになっている部分や係数環がおかしい可能性があります、ご容赦ください。）

多項式環：不定元の正体

自由モノイド：形式言語の基礎

自由ベクトル空間：基底の定義のわけ

自由加群：初めての構造定理

自由群：作用とグラフと幾何

自由代数：統一的な普遍性の話

自由群の群環：自由群と自由代数両方の性質を併せ持つ

自由確率論：確率と代数が出会うとき

漸近的自由性：自由変数のランダム行列表現と情報科学

おわりに

参考文献: 自由対象や自由群因子、自由確率論に関するより詳細な論説や定式化については、以下の文献を参照されたい。 - D. Voiculescu, Free probability theory: random matrices and von Neumann algebras, ICM Zürich 1994 Proc. (自由確率論の基調講演的解説) - A. Nica and R. Speicher, Lectures on the Combinatorics of Free Probability, LMS Lecture Note Series, Cambridge, 2006. (自由確率論の入門と詳細) - J. A. Mingo and R. Speicher, Free Probability and Random Matrices, https://mast.queensu.ca/~mingo/mingo_speicher_2017.pdf